L'asintoto obliquo è una retta del tipo $y = mx + q$ a cui il grafico di una funzione si avvicina indefinitamente quando $x$ tende a $+\infty$ o a $-\infty$.

Per calcolarlo, dobbiamo trovare due valori: il coefficiente angolare $m$ e l'intercetta $q$.

1. La Condizione Preliminare

Prima di fare i calcoli, un controllo veloce: se la funzione è una funzione razionale fratta (un polinomio fratto un altro), l'asintoto obliquo esiste solo se il grado del numeratore è esattamente di uno superiore al grado del denominatore.

• Esempio: $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ (grado 2 sopra, grado 1 sotto) → Ha asintoto obliquo.
• Esempio: $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ (grado 3 sopra, grado 2 sotto) → Ha asintoto obliquo.

2. Il Procedimento (I due limiti)

Se la condizione è soddisfatta, devi calcolare due limiti successivi.

Passo A: Calcolo di $m$ (Coefficiente angolare)

$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$

• Se il risultato è un numero finito e diverso da zero, puoi procedere a trovare $q$.
• Se il risultato è $0$ o $\infty$, non c'è asintoto obliquo.

Passo B: Calcolo di $q$ (Intercetta)

$q = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$

• Il valore trovato sarà la tua $q$.
• Se il limite non esiste o è infinito, non c'è asintoto obliquo.

Esempio Pratico

Calcoliamo l'asintoto obliquo di $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$.