Il calcolo combinatorio serve a contare in quanti modi diversi si possono raggruppare, ordinare o scegliere degli elementi all'interno di un insieme, senza doverli elencare tutti uno per uno.

Appunti di Calcolo Combinatorio

Per capire quale formula usare, devi porti sempre due domande fondamentali:

1. L'ordine degli elementi conta?
2. Posso ripetere lo stesso elemento?

1. Le Permutazioni (Cambia solo l'ordine)

Si usano quando prendi tutti gli elementi a disposizione e vuoi sapere in quanti modi puoi scambiarli di posto (ordinarli).

• Come si calcolano: Si usa il fattoriale (indicato con il punto esclamativo $!$). Il fattoriale di un numero significa moltiplicare quel numero per tutti i numeri interi più piccoli fino a 1.

• Formula (Senza ripetizione):

  $$ P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 $$

• Esempio: In quanti modi si possono sedere 4 amici su 4 sedie libere?

  • $n = 4$
  • Calcolo: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{24}$ modi diversi.

• Con Ripetizione: Se alcuni elementi sono uguali tra loro (es. le lettere della parola "MAMMA"), si divide il fattoriale totale per il fattoriale delle ripetizioni:

  $$ P_n^{r_1, r_2} = \frac{n!}{r_1! \cdot r_2!} $$

2. Le Disposizioni (Conta l'ordine, ma prendi un sottoinsieme)

Si usano quando hai un totale di $n$ elementi, ma ne scegli solo una parte ($k$). In questo caso, l'ordine in cui li scegli è importante (es. arrivare primo o secondo cambia il risultato).

• Come si calcolano: Si moltiplicano tra loro i numeri partendo da $n$ e andando a scendere, per un totale di $k$ fattori.

• Formula (Senza ripetizione):

  $$ D_{n, k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) $$

• Esempio: Una corsa ha 8 partecipanti. In quanti modi diversi può formarsi il podio (1°, 2° e 3° posto)?

  • Totale elementi ($n$) = $8$, Posti da assegnare ($k$) = $3$ (l'ordine conta: oro e argento non sono la stessa cosa).
  • Calcolo: $8 \times 7 \times 6 = \mathbf{336}$ podi possibili.

• Con Ripetizione: Se puoi riutilizzare lo stesso elemento più volte (es. i numeri di un lucchetto a combinazione), la formula diventa semplicissima:

  $$ D'_{n, k} = n^k $$

3. Le Combinazioni (L'ordine NON conta)

Si usano quando hai un totale di $n$ elementi, ne scegli solo una parte ($k$), ma l'ordine con cui li prendi non ha alcuna importanza (es. formare una squadra o estrarre delle carte).

• Come si calcolano: Si calcola la disposizione (dove l'ordine conta) e si divide per il fattoriale di $k$ per "eliminare" i duplicati creati dall'ordine. Il risultato si chiama coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$.