Invertibilità di una Funzione (Scheda TOLC-I)

Per poter invertire una funzione $f: A \to B$, essa deve essere biettiva (ossia sia iniettiva che suriettiva).

Nel TOLC-I le funzioni proposte spesso non sono invertibili sul loro dominio/codominio naturale (pensiamo alle parabole o alle funzioni trigonometriche). Il quesito tipico chiede quindi come restringere dominio e codominio per renderle invertibili.

1. I Due Requisiti per l'Invertibilità

A. Iniettività (Legata al DOMINIO)

Definizione: Ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$

• Test Grafico (delle rette orizzontali): Se tracci qualsiasi retta orizzontale $y = k$, essa deve intersecare il grafico della funzione al massimo in un punto.
• Criterio analitico (Monotonia): Una funzione continua che è strettamente crescente o strettamente decrescente in un intervallo è sicuramente iniettiva in quell'intervallo.

Come risolvere la mancanza di iniettività?

Si ristringe il dominio $A$ a un intervallo $A'$ in cui la funzione sia strettamente monotona.

B. Suriettività (Legata al CODOMINIO)

Definizione: Ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

$$ \text{Codominio} = Im(f) $$

Come risolvere la mancanza di suriettività?

La suriettività si ottiene sempre "gratis" riducendo il codominio $B$: basta sostituire l'insieme di arrivo $B$ con l'Immagine reale della funzione $Im(f)$.

2. Procedura Standard in 3 Passaggi

Data una funzione generale $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$:

1. Determina l'Immagine $Im(f)$: Trova l'insieme di tutti i valori $y$ che la funzione può effettivamente restituire (analizzando vertici, asintoti o minimi/massimi).
2. Riduci il Codominio: Imposta il nuovo codominio pari a $Im(f)$. La funzione diventa automaticamente suriettiva.
3. Rstringi il Dominio: Individua un intervallo in cui la funzione è strettamente crescente o decrescente. La funzione diventa iniettiva.

3. Esempio Classico TOLC: La Parabola

Consideriamo $f(x) = x^2 - 4x + 3$ definita inizialmente come $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Step 1: Riduzione del Codominio (Suriettività)