L'integrale definito, a differenza di quello indefinito, non restituisce una famiglia di funzioni, ma un numero reale (o un valore, se $f(x)$ è espressa in parametri).
Se $f(x)$ è una funzione continua nell'intervallo $[a, b]$ e $F(x)$ è una sua primitiva, allora:
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$
Nota: La costante $C$ scompare nel calcolo, poiché $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$.
Queste proprietà sono fondamentali per semplificare calcoli complessi:
Inversione degli estremi: Scambiare gli estremi inverte il segno del risultato.
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx $$
Additività rispetto all'intervallo: Se $c \in [a, b]$, l'integrale può essere spezzato.
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx $$
Intervallo nullo: Se gli estremi coincidono, l'integrale è zero.
$$ \int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0 $$
Il significato geometrico dell'integrale definito è l'area orientata.
Area netta: Se la funzione assume valori negativi, l'integrale calcola la differenza tra l'area sopra l'asse $x$ e l'area sotto l'asse $x$.
Area geometrica (assoluta): Per calcolare l'area fisica (sempre positiva), dobbiamo considerare il valore assoluto della funzione:
$$ \text{Area} = \int_{a}^{b} \vert{}f(x)\vert{} \, dx $$
Procedimento:
Si studia il segno di $f(x)$.
Si spezza l'integrale negli intervalli dove la funzione è negativa, cambiandone il segno.
$$ \text{Area} = \left\vert{} \int_{a}^{c} f(x) \, dx \right\vert{} + \left\vert{} \int_{c}^{b} f(x) \, dx \right\vert{} $$
Si verificano quando l'intervallo è infinito o la funzione non è limitata. Si risolvono usando i limiti: