1. Scomposizione / Divisione / Raccoglimento

Quando si usa: Quando hai una frazione algebrica (polinomio sopra, polinomio sotto).

• Divisione in colonna: Se il grado del numeratore è $\ge$ al grado del denominatore.
• Trucchi (Aggiungi/Sottrai): Se i gradi sono uguali o molto simili (es. $\frac{x}{x+1} \to \frac{x+1-1}{x+1}$).
• Raccoglimento: Se puoi semplificare "a vista" (es. $\frac{x^2-x}{x} \to \frac{x(x-1)}{x}$).

Obiettivo: Trasformare una frazione "pesante" in una somma di termini facili o logaritmi.

2. Integrazione per Parti

Quando si usa: Quando hai un prodotto di due funzioni "diverse" (che non sono una la derivata dell'altra).

• $x \cdot e^x$ (Polinomio $\cdot$ Esponenziale)
• $x \cdot \sin(x)$ (Polinomio $\cdot$ Trigometrica)
• $1 \cdot \ln(x)$ (Polinomio invisibile $\cdot$ Logaritmo)

Formula: $\int f \cdot g' = f \cdot g - \int f' \cdot g$

Obiettivo: "Consumare" il polinomio derivandolo finché non scompare.

3. Funzione Composta (Integrazione "a vista")

Quando si usa: Quando riconosci dentro l'integrale una funzione e, lì accanto, la sua derivata.

• $\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx$ (C'è la derivata dell'esponente)
• $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \to \ln|f(x)|$ (Il sopra è la derivata del sotto)
• $\int [f(x)]^n \cdot f'(x) \, dx \to \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}$

Obiettivo: Risolvere in un colpo solo senza fare sostituzioni lunghe. Se manca solo una costante (un numero), puoi "aggiustarlo" moltiplicando e dividendo.