Il quadrato di un binomio è il prodotto notevole più comune. Quando si scompone, si cerca di riconoscere un trinomio caratteristico che sia un quadrato perfetto.
Sviluppo (Prodotto Notevole):
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
$$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
Scomposizione (Riconoscimento del quadrato di binomio):
Se hai un trinomio del tipo $a^2 \pm 2ab + b^2$, puoi scomporlo come:
$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $$
$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $$
Regola pratica: Identifica due termini che siano quadrati perfetti ($a^2$ e $b^2$) e verifica se il terzo termine è esattamente il doppio prodotto delle loro basi ($2 \cdot a \cdot b$), facendo attenzione al segno.
Lo sviluppo del cubo genera un quadrinomio. Nel percorso inverso (scomposizione), si parte da quattro termini per tornare al binomio di partenza.
Sviluppo (Prodotto Notevole):
$$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$
$$ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$
Scomposizione (Riconoscimento del cubo di binomio):
Se hai un quadrinomio, per ricondurlo a un cubo devi verificare che:
$$ \text{Quindi: } a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3 $$
Spesso confusa con il cubo del binomio, questa regola serve a scomporre un binomio composto da due cubi. Genera quello che in gergo viene chiamato "falso quadrato".
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$
$$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$
Nota sul "Falso Quadrato": Il trinomio $(a^2 \pm ab + b^2)$ assomiglia al quadrato di un binomio ma non ha il 2 nel termine centrale. Non è ulteriormente scomponibile nel campo dei numeri reali.
Per elevare un binomio a potenze superiori come $(a + b)^4$, $(a + b)^5$, ecc., si utilizzano i coefficienti numerici ricavati dal Triangolo di Tartaglia.
Ogni riga del triangolo fornisce i coefficienti per lo sviluppo della potenza corrispondente: