Definizione di rapporto incrementale

$$ \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$

dove:

$x$ è il punto di partenza
h è un piccolo incremento (cioè di quanto ti sposti)

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Il rapporto incrementale misura quanto cambia la funzione quando ti sposti di $h$

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Significato geometrico

Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante che passa per i punti:

$(x_0, f(x_0))$ e $(x_0 + h, f(x_0 + h))$

Quindi rappresenta la pendenza media della funzione tra quei punti

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Definizione di derivata

$$ f'(x_0) = lim_{h\to0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$

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La derivata è il limite del rapporto incrementale quando l’incremento $h$ tende a 0

La derivata in un punto corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto. Questa retta rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino al punto.

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Ma cos'è realmente e a cosa serve?

In algebra hai imparato a calcolare la pendenza di una retta. $y = mx + b$, giusto? $m$ è la pendenza.

Ma che dire di una linea curva? Allora la pendenza non è costante. Cambia: è più alta quando la linea è più ripida e più bassa quando la linea è più piatta.

Quindi, invece di un singolo numero, la pendenza è una funzione di $x$. Per ogni $x$, la tua linea ha un certo valore di $y$ e una certa pendenza.

Il calcolo è l'insieme degli strumenti matematici che ti permettono di trovare la funzione pendenza dalla funzione originale, o la funzione originale dalla funzione pendenza.

La derivata è trovare la funzione pendenza. Ad esempio, la derivata di y=x2 è y'=2x. Ciò significa che una parabola di base ha una pendenza di 2x.

Fonti: https://www.reddit.com/r/explainlikeimfive/comments/7sgamm/eli5_what_is_a_derivative_why_are_they_important/?tl=it

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Da qui in poi nella pagina valgono le seguenti scritture: